Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，，AA₁=2，三棱錐P-ABC中，P∈平面AB₁B₁B，且．
（1）求證：PA∥平面A₁BC₁；
（2）求二面角P-AC-C₁的大�。�
（3）求點(diǎn)P到平面BCC₁B₁的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABA₁中，，AA₁=2，可得，取BC中點(diǎn)H，根據(jù)題意得：在Rt△PAH中，PH=1，，所以∠ABA₁=∠PAH進(jìn)而根據(jù)角的關(guān)系得到平行關(guān)系．
（2）由題意可得：PH⊥平面ABC．過(guò)H作HE⊥AC于E，連接PE，則PE⊥AC，∠PEH為二面角P-AC-B的平面角，再結(jié)合解三角形的有關(guān)知識(shí)得到答案．
（3）由PH∥BB₁可得P點(diǎn)到平面BCC₁B₁的距離，就是H到平面BCC₁B₁的距離，再結(jié)合題中的條件求出答案．
解答：解：（1）證明：在Rt△ABA₁中，，AA₁=2，
∴，取BC中點(diǎn)H，
∵PA=PB，
∴PH⊥AB，
在Rt△PAH中，PH=1，，又∠ABA₁、∠PAH均為銳角，
∴∠ABA₁=∠PAH，---------------（2分）
∴PA∥A₁B，又PA在平面A₁BC₁外，
∴PA∥平面A₁BC₁．---------------（4分）
（2）∵平面PAB⊥平面ABC，PH⊥AB，
∴PH⊥平面ABC．
過(guò)H作HE⊥AC于E，連接PE，則PE⊥AC，∠PEH為二面角P-AC-B的平面角，------------------------（6分）
由題意可得：=，
∴，
∴二面角P-AC-C₁的大小為．------------------------（9分）
（3）∵PH∥BB₁，
∴P點(diǎn)到平面BCC₁B₁的距離，就是H到平面BCC₁B₁的距離，-------------------------------（11分）
過(guò)H作HF⊥BC于F，則HF⊥平面BCC₁B₁，HF的長(zhǎng)度即為所求，
由題意可得：（或用等體積求）----------------------------------（14分）
點(diǎn)評(píng)：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而得到空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)行證明即可，以及熟練掌握求作二面角平面角的方法．