已知函數(shù)f(x) 定義在(-1,1)上,f(
1
2
)=1,滿足f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
),且數(shù)列x1=
1
2
,xn+1=
2xn
1+xn2

(Ⅰ)證明:f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù);
(Ⅱ)求f(xn)的表達(dá)式;
(Ⅲ)若a1=1,an+1=
12n
2n
f(xn)-an,(n∈N+).試求an
分析:(Ⅰ) 利用奇函數(shù)的定義去證明.
(Ⅱ)利用數(shù)列的遞推公式推導(dǎo).
(Ⅲ)將數(shù)列進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為規(guī)則數(shù)列,然后求通項公式.
解答:解:(Ⅰ)因為f(x)定義在(-1,1)上滿足f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
),
所以當(dāng)x=y=0時,可得f(0)=0,當(dāng)x=0時,f(0)-f(y)=f(-y),
即f(-y)=-f(y),所以f(-x)=-f(x),
即f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù).
(Ⅱ)因為f(xn-1)=f(
2xn
1+xn2
)=f(
xn-(-xn)
1-xn?(-xn)
)=f(xn)-f(-xn)=2f(xn)
,
所以
f(xn+1)
f(xn)
=2
,又f(x1)=f(
1
2
)=1

所以f(xn)}為等比數(shù)列,其通項公式為f(xn)=f(x1)•2n-1=2n-1.…..(6分)
(3)因為
a
 
n
+an+1=6n,所以an+1+an+2=6(n+1),兩式相減,得an+2-
a
 
n
=6,
所以{a2n-1}與{a2n}均為公差為6 的等差數(shù)列,
所以易求得
a
 
n
=
3n-2(n為奇數(shù))
3n-1(n為偶數(shù))
.….(12分)
點評:本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)奇偶性的證明,以及數(shù)列的通項公式,綜合性較強運算量較大.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•湖南)已知函數(shù)f(x)=eax-x,其中a≠0.
(1)若對一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.
(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)(x1<x2),記直線AB的斜率為K,問:是否存在x0∈(x1,x2),使f′(x0)>k成立?若存在,求x0的取值范圍;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為C,若對于任意非零實數(shù)x1,曲線C與其在點P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積分別記為S1,S2,求證:
S1S2
為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=1-|2x-a|,a∈R.
(I)當(dāng)a=5時,求不等式f(x)≥3x-2的解集.
(II)求證:函數(shù)f(x)=1-|2x-a|的最大值恒為定值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a
(1)如果對任意x∈(1,2],f'(x)>a2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)實數(shù)f(x)的兩個極值點分別為x1x2判斷①x1+x2+a②x12+x22+a2③x13+x23+a3是否為定值?若是定值請求出;若不是定值,請把不是定值的表示為函數(shù)g(a)并求出g(a)的最小值;
(3)對于(2)中的g(a),設(shè)H(x)=
1
9
[g(x)-27],m,n∈(0,1)且m≠n,試比較|H(m)-H(n)|與|em-en|(e為自然對數(shù)的底)的大小,并證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點.
(1)求a的取值范圍;
(2)過曲線y=f(x)外的點P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點分別為A、B.
(。┳C明:a=b;
(ⅱ)請問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案