Question

已知圓的方程為x²+y²=4，過點(diǎn)M（2，4）作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A₁、A₂，直線A₁A₂恰好經(jīng)過橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（1）求直線A₁A₂的方程及橢圓C₁的方程；
（2）橢圓C₂以C₁的長軸為短軸，且與C₁有相同的離心率，求橢圓C₂的方程；
（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別在橢圓C₁和C₂上，

OB

=2

OA

，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）x=2是圓的一條切線，切點(diǎn)為A₁（2，0），設(shè)O為圓心，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，MO⊥A₁A₂，由此能求出直線A₁A₂的方程和橢圓C₁的方程．
（2）設(shè)橢圓C₂的方程為

y2

a2

+

x2

4

=1，（a＞2），由e=

3

2

能求出橢圓C₂的方程．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)直線AB的方程為y=kx，并分別代入

x2

4

+y2=1和

y2

16

+

x2

4

=1，得x12=

4

1+4k2

，x22=

4

1+4k2

，由此能求出直線AB的方程．

解答： 解：（1）觀察知，x=2是圓的一條切線，切點(diǎn)為A₁（2，0），（1分）
設(shè)O為圓心，根據(jù)圓的切線性質(zhì)，MO⊥A₁A₂，（2分）
所以kA1A2=-

1

kMO

=-

1

2

，（3分）
所以直線A₁A₂的方程為y=-

1

2

(x-2)，（4分）
直線A₁A₂與y軸相交于（0，1），依題意a=2，b=1，（6分）
所求橢圓C₁的方程為

x2

4

+y2=1．
（2）依題意設(shè)橢圓C₂的方程為

y2

a2

+

x2

4

=1，（a＞2），
∵e=

3

2

，∴

1- 4 a2

=

3

2

，解得a²=16，
∴橢圓C₂的方程為

y2

16

+

x2

4

=1．（8分）
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵

OB

=2

OA

，∴O，A，B三點(diǎn)共線且不在y軸上，（9分）
∴設(shè)直線AB的方程為y=kx，
并分別代入

x2

4

+y2=1和

y2

16

+

x2

4

=1，得：
x12=

4

1+4k2

，x22=

4

1+4k2

，（11分）
∵

OB

=2

OA

，∴x22=4x12，∴

16

4+k2

=

16

1+4k2

，
解得k=±1，∴直線AB的方程為y=x或y=-x．

點(diǎn)評：本題考查直線方程及橢圓方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意直線方程、圓、橢圓等知識點(diǎn)的合理運(yùn)用．