Question

【題目】已知橢圓的左焦點為，直線與圓交于，兩點.

（1）若直線過點，且，求被橢圓所截得的弦的長度；

（2）若已知點在橢圓上，動點滿足，請判斷點與圓的位置關(guān)系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點在圓上，理由見解析

【解析】

（1）根據(jù)圓的方程得到圓心坐標和半徑，根據(jù)，得到圓心到距離等于的距離，從而得到，得到的方程，從而求出被橢圓所截得的弦長；（2）直線與圓聯(lián)立，得到，，利用向量關(guān)系，得到的坐標，從而得到等于半徑的平方，從而得到點在圓上.

（1）圓，

則圓心，半徑為.

因為弦長，

由勾股定理可得到的距離為2，

而，所以，即，代

入橢圓方程得到，

所以被橢圓所截得的弦長為.

（2）點在圓上.

由

得.

設(shè)，，

則，

從而.

因為，

所以

，

又因為點在橢圓上，

所以.

則

.

所以，點在圓上.