Question

向量

a

=（x-

3

，y），向量

b

=（x+

3

，y），且滿足|

a

|+|

b

|=4．
（1）求P（x，y）的軌跡方程；
（2）如果過O（0，m）且斜率為1的方程與P的軌跡交于A，B兩點，當△AOB的面積取到最大值時，求m的值．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關系

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由題意和向量的模得：

(x- 3 )2+y2

+

(x+ 3 )2+y2

=4，幾何意義是動點到兩定點的距離之和為4，由橢圓的定義判斷出點P（x，y）的軌跡是橢圓，再求出軌跡方程即可；
（2）先求出直線AB的方程，代入橢圓方程化簡得二次方程，由弦長公式求出|AB|，由點到直線的距離公式求出三角形的高，表示出△AOB的面積，化簡后利用基本不等式求此函數(shù)的最大值，以及m的值．

解答： 解：（1）由題意得，|

a

|+|

b

|=4，
所以

(x- 3 )2+y2

+

(x+ 3 )2+y2

=4，
上式的幾何意義是：P（x，y）與點（

3

，0）、（-

3

，0）的距離之和是4＞2

3

，
所以P（x，y）的軌跡是以（

3

，0）、（-

3

，0）為焦點的橢圓，
且c=

3

，a=2，b=1，
則P（x，y）的軌跡方程是

x2

4

+y2=1；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
依題意得，直線AB的方程y=x+m，
代入橢圓方程

x2

4

+y2=1得，5x²+8mx+4m²-4=0，
則x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-4

5

，
所以|AB|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 8m 5 )2-4× 4m2-4 5

=

4 2 5-m2

5

，
又原點O（0，0）點到AB的距離d=

|m|

2

，
因此，S_△AOB=

1

2

|AB|•d
=

1

2

×

4 2 5-m2

5

×

|m|

2

=

2

5

(5-m2)m2

≤

2

5

•

5-m2+m2

2

 =1，當且僅當5-m²=m²時取等號，
即當m=±

10

2

時，△AOB的面積取到最大值1．

點評：本題考查平面向量與解析幾何的問題，利用定義法求軌跡方程，基本不等式，以及直線與橢圓的關系，綜合較強，考查化簡計算能力．