Question

15．已知拋物線C：y²=4x，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為其焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，$\frac{|PO|}{|PF|}$的最大值為（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 由拋物線的性質(zhì)寫出準(zhǔn)線方程，再由定義得到|PF|=x+1，從而有$\frac{|PO|}{|PF|}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+4x}}{x+1}$，令x+1=t（t≥1），轉(zhuǎn)化為t的函數(shù)，整理配方得到f（t）=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，由二次函數(shù)的對(duì)稱軸，即可得到最大值．

解答 解：∵拋物線y²=4x的準(zhǔn)線方程為：x=-1，
∴由拋物線的定義可得，|PF|=x+1，
∴$\frac{|PO|}{|PF|}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{x+1}$=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+4x}}{x+1}$，
令x+1=t（t≥1），
則f（t）=$\frac{\sqrt{（t-1）^{2}+4（t-1）}}{t}$=$\frac{\sqrt{{t}^{2}+2t-3}}{t}$=$\sqrt{1+\frac{2}{t}-\frac{3}{{t}^{2}}}$=$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{4}{3}}$，
于是當(dāng)$\frac{1}{t}$=$\frac{1}{3}$即t=3，即x=2，f（t）取最大，且為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
此時(shí)P（2，±2$\sqrt{2}$）．
故選；A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查函數(shù)的最值求法，注意運(yùn)用分式中變量分離法，及配方法，屬于中檔題．