Question

3．已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，離心離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，點B是橢圓短軸的下端點．B到橢圓一個焦點的距離為$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點$P（0，\frac{3}{2}）$的直線l與橢圓C交于M，N兩點，且|BM|=|BN|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用離心離為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，點B是橢圓短軸的下端點．B到橢圓一個焦點的距離為$\sqrt{3}$，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+$\frac{3}{2}$，由代入橢圓方程消去y并整理，確定MN中點Q的坐標，由|BM|=|BN|，知BQ⊥MN，即可求直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）
由$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，a=$\sqrt{3}$得：a=$\sqrt{3}$，b=1
所以橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$．…（4分）
（Ⅱ）顯然直線l的斜率k存在，且k≠0．設(shè)直線l的方程為y=kx+$\frac{3}{2}$．
由代入橢圓方程消去y并整理得（k²+$\frac{1}{3}$）x²+3kx+$\frac{5}{4}$=0．------------------（6分）
由△=9k²-5（k²+$\frac{1}{3}$）＞0，k²＞$\frac{5}{12}$．---------------------------------------------（7分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN中點為Q（x₀，y₀），
得x₀=-$\frac{9k}{6{k}^{2}+2}$，y₀=$\frac{3}{6{k}^{2}+2}$．----------------------（9分）
由|BM|=|BN|，知BQ⊥MN，
所以$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{k}$，即$\frac{\frac{3}{6{k}^{2}+2}+1}{-\frac{9k}{6{k}^{2}+2}}$=-$\frac{1}{k}$．-------------------------------（11分）
化簡得k=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
因此直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{6}}{3}$x+$\frac{3}{2}$．      …（12分）

點評 本題考查橢圓方程與性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．