Question

20．△ABC中，a、b、c分別為∠A、∠B、∠C的對邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，∠B=30°，△ABC的面積為2-$\sqrt{3}$，那么b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可知2b=a+c．平方后整理得a²+c²=4b²-2ac．利用三角形面積求得ac的值，進(jìn)而把a(bǔ)²+c²=4b²-2ac．代入余弦定理求得b的值．

解答 解：∵a，b，c成等差數(shù)列，
∴2b=a+c．
平方得a²+c²=4b²-2ac．
又△ABC的面積為2-$\sqrt{3}$，且∠B=30°，
故由S_△=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$ac•sin30°=$\frac{1}{4}$ac=2-$\sqrt{3}$，
得ac=8-4$\sqrt{3}$，
∴a²+c²=4b²-16+8$\sqrt{3}$．
由余弦定理
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{3^{2}-16+8\sqrt{3}}{16-8\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
解得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了解三角形的問題．解題過程中常需要正弦定理，余弦定理，三角形面積公式以及勾股定理等知識，屬于中檔題．