Question

12．已知函數(shù)$f（x）=3sin（ωx-\frac{π}{6}）$（ω＞0）和g（x）=2cos（2x+ϕ）+1（0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$）的圖象的對(duì)稱軸完全相同．若${x_1}，{x_2}∈[0，\frac{π}{2}]$，則f（x₁）-g（x₂）的取值范圍是[-$\frac{7}{2}$，4]．

Answer 1

分析 由圖象的對(duì)稱軸完全相同，可得周期均為π，則ω=2，求得對(duì)稱軸，計(jì)算可得Φ=$\frac{π}{3}$，再由x的范圍，分別求得f（x），g（x）的值域，即可得到的最小值和最大值，進(jìn)而得到范圍．

解答 解：由圖象的對(duì)稱軸完全相同，
可得周期均為π，則ω=2，
由2x-$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$，可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
2x+Φ=kπ，解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{Φ}{2}$，k∈Z，
由于0＜ϕ＜$\frac{π}{2}$，則$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{Φ}{2}$，k∈Z，
解得Φ=$\frac{π}{3}$，
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
f（x）=3sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{3}{2}$，3]；
當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
g（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$）+1∈[-1，2]，
則f（x₁）-g（x₂）的最小值為-$\frac{3}{2}$-2=-$\frac{7}{2}$，
最大值為3-（-1）=4，
即有取值范圍是[-$\frac{7}{2}$，4]．
故答案為：[-$\frac{7}{2}$，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查函數(shù)的對(duì)稱性和最值的求法，屬于中檔題．