Question

3．過(guò)拋物線y²=2px（p為大于0的常數(shù)）的焦點(diǎn)F，作與坐標(biāo)軸不垂直的直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線交MN于P點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)，求PQ中點(diǎn)R的軌跡L的方程．

Answer 1

分析 由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由題意設(shè)出直線l的方程為$y=k（x-\frac{p}{2}）$（k≠0），聯(lián)立直線方程和拋物線方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系得到P點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合PQ⊥l，求得PQ的方程，再設(shè)R的坐標(biāo)為（x，y），再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得PQ的中點(diǎn)R的軌跡L的方程．

解答 解：拋物線y²=2px的焦點(diǎn)為$（\frac{p}{2}，0）$，設(shè)l的直線方程為$y=k（x-\frac{p}{2}）$（k≠0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=2px\\ y=k（x-\frac{p}{2}）\end{array}\right.$得${k^2}{x^2}-（p{k^2}+2p）x+\frac{1}{4}{p^2}{k^2}=0$，設(shè)M，N的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，
則${x_1}+{x_2}=\frac{{p{k^2}+2p}}{k^2}$，得${x_P}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{{p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}$，${y_P}=k（\frac{{p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}-\frac{p}{2}）=\frac{p}{k}$，
而PQ⊥l，故PQ的斜率為$-\frac{1}{k}$，PQ的方程為$y-\frac{p}{k}=-\frac{1}{k}（x-\frac{{p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}）$．
代入y_Q=0得${x_Q}=p+\frac{{p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}=\frac{{3p{k^2}+2p}}{{2{k^2}}}$．
設(shè)動(dòng)點(diǎn)R的坐標(biāo)（x，y），則$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}（{x_P}+{x_Q}）=p+\frac{p}{k^2}\\ y=\frac{1}{2}（{y_P}+{y_Q}）=\frac{p}{2k}\end{array}\right.$，因此$p（x-p）=\frac{p^2}{k^2}=4{y^2}（y≠0）$，
故PQ中點(diǎn)R的軌跡L的方程為4y²=p（x-p）（y≠0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，考查了學(xué)生的靈活變形能力和整體運(yùn)算能力，靈活性強(qiáng)，屬于中檔題．