Question

16．（1）試計(jì)算下列各式，（只需寫出結(jié)果，不需要計(jì)算過(guò)程）
sin²45°+sin²105°+sin²165°=$\frac{3}{2}$
sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$
sin²15°+sin²75°+sin²135°$\frac{3}{2}$
（2）通過(guò)觀察上述各式的計(jì)算規(guī)律，請(qǐng)寫出一般性的命題，并給出的證明
（參考公式：sin2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α）

Answer 1

分析 分析已知條件中，我們可以發(fā)現(xiàn)等式左邊參加累加的三個(gè)均為正弦的平方，且三個(gè)角組成一個(gè)以60°為公差的等差數(shù)列，右邊是常數(shù)，由此不難得到結(jié)論．

解答 解：（1）由已知，
sin²45°+sin²105°+sin²165°=$\frac{3}{2}$，
sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$，
sin²15°+sin²75°+sin²135°=$\frac{3}{2}$，
（2）歸納推理的一般性的命題為：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=$\frac{3}{2}$，
證明如下：
左邊=$\frac{1}{2}$[1-cos（2α-120）]+$\frac{1}{2}$（1-cos2α）+$\frac{1}{2}$[1-cos（2α+120）]
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]
=$\frac{3}{2}$=右邊．
∴結(jié)論正確

點(diǎn)評(píng) 歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），（3）論證．