Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項a₁=

3

2

，前n項和為S_n，且滿足2a_n+1+S_n=3（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₂及a_n；
（Ⅱ）求證：a_nS_n≤

9

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由2a_n+1+S_n=3，得2a₂+a₁=3，由此能求出a2=

3

4

；由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相減，推導(dǎo)出數(shù)列{a_n}是以

3

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得S_n=3[1-(

1

2

)n]，由此能證明anSn≤

9

4

．

解答： （Ⅰ）解：由2a_n+1+S_n=3，得2a₂+a₁=3，
又a1=

3

2

，所以a2=

3

4

．（2分）
由2a_n+1+S_n=3，2a_n+S_n-1=3（n≥2）相減，
得 

an+1

an

=

1

2

，又 

a2

a1

=

1

2

，
所以數(shù)列{a_n}是以

3

2

為首項，以

1

2

為公比的等比數(shù)列．（5分）
因此an=

3

2

•(

1

2

)n-1=3•(

1

2

)n（n∈N^*）．（7分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ），得Sn=3-2an+1=3-2•3(

1

2

)n+1=3[1-(

1

2

)n]，（9分）
因為anSn=3•(

1

2

)n•3[1-(

1

2

)n]≤9•(

( 1 2 )n+1-( 1 2 )n

2

)2=

9

4

（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)(

1

2

)n=1-(

1

2

)n時，
即n=1時，取等號．所以anSn≤

9

4

．（14分）

點評：本題考查數(shù)列的第2項及通項公式的求法，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．