Question

11．已知x=1是函數(shù)f （x）=mx³-3（m+1）x²+nx+1的一個極值點，其中m、n∈R，m＜0．
（1）求m與n的關(guān)系表達式；
（2）求f （x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈（-1，1）時，函數(shù)y=f （x）的圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x），因為x=1是函數(shù)的極值點，所以得到f′（1）=0求出m與n的關(guān)系式；
（2）令f′（x）=0求出函數(shù)的極值點，討論函數(shù)的增減性確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）函數(shù)圖象上任意一點的切線斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x-1）[x-（1+$\frac{2}{m}$）]＞3m，又因為m＜0，分x=1和x≠1，當(dāng)x≠1時g（t）=t-$\frac{1}{t}$求出g（t）的最小值．要使$\frac{2}{m}$＜（x-1）-$\frac{1}{x-1}$恒成立即要g（t）的最小值＞$\frac{2}{m}$，解出不等式的解集求出m的范圍．

解答 解：（1）f′（x）=3mx²-6（m+1）x+n．
因為x=1是f（x）的一個極值點，所以f'（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0．
所以n=3m+6．
（2）由（1）知f′（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+$\frac{2}{m}$）]
當(dāng)m＜0時，有1＞1+$\frac{2}{m}$，當(dāng)x變化時f（x）與f'（x）的變化如下表：

x	（-∞，1+$\frac{2}{m}$）	1+$\frac{2}{m}$	（1+$\frac{2}{m}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	＜0	0	＞0	0	＜0
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

由上表知，當(dāng)m＜0時，f（x）在（-∞，1+$\frac{2}{m}$）單調(diào)遞減，在（1+$\frac{2}{m}$，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減．
（3）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x-1）[x-（1+$\frac{2}{m}$）]＞3m，
∵m＜0．∴（x-1）[x-1（1+$\frac{2}{m}$）]＜1．（*）
1⁰x=1時．（*）式化為0＜1怛成立．
∴m＜0．
2⁰x≠1時，∵x∈[-1，1]，∴-2≤x-1＜0．
（*）式化為$\frac{2}{m}$＜（x-1）-$\frac{1}{x-1}$．
令t=x-1，則t∈[-2，0），記g（t）=t-$\frac{1}{t}$，
則g（t）在區(qū)間[-2，0）是單調(diào)增函數(shù)．∴g（t）_min=g（-2）=-2-$\frac{1}{-2}$=-$\frac{3}{2}$．
由（*）式恒成立，必有$\frac{2}{m}$＜-$\frac{3}{2}$⇒-$\frac{4}{3}$＜m，又m＜0．∴-$\frac{4}{3}$＜m＜0．
綜上1⁰、2⁰知-$\frac{4}{3}$＜m＜0．

點評 考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值和單調(diào)性的能力，以及掌握不等式恒成立的條件．