Question

5．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{1}{e^x}-1$．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極小值；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)B（0，t）能否存在曲線y=f（x）的切線，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進(jìn)而得到極小值；
（Ⅱ）假設(shè)存在切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的方程，代入點(diǎn)（0，t），得到t=$\frac{m+1}{{e}^{m}}$-1．求出右邊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極值，也為最值，即可判斷切線是否存在．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)镽．
因?yàn)楹瘮?shù)$f（x）=x+\frac{1}{e^x}-1$，所以f′（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{{e}^{x}}$．
令f′（x）=0，則x=0．

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

所以f（x）極小值為f（0）=0-1+$\frac{1}{{e}^{0}}$=0；                      
（Ⅱ）假設(shè)存在切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），
則切線方程為y-n=f′（m）（x-m），
即y-（m-1+$\frac{1}{{e}^{m}}$）=（1-e^-m）（x-m），
將B（0，t）代入得t=$\frac{m+1}{{e}^{m}}$-1．
方程t=$\frac{m+1}{{e}^{m}}$-1有解，等價(jià)于過(guò)點(diǎn)B（0，t）作曲線f（x）的切線存在．
令M（x）=$\frac{x+1}{{e}^{x}}$-1，所以M′（x）=$\frac{-x}{{e}^{x}}$．
當(dāng)M′（x）=0，x=0，
所以 當(dāng)x＜0時(shí)，以M′（x）＞0，函數(shù)以M（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞0時(shí)，M′（x）＜0，M（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
所以當(dāng)x=0時(shí)，M（x）_max=M（0）=0，無(wú)最小值．
當(dāng)t≤0時(shí)，方程t=$\frac{m+1}{{e}^{m}}$-1有解；
當(dāng)t＞0時(shí)，方程t=$\frac{m+1}{{e}^{m}}$-1無(wú)解．
綜上所述，當(dāng)t≤0時(shí)存在切線；當(dāng)t＞0時(shí)不存在切線．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，運(yùn)用函數(shù)和方程轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵．