Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線l與x軸交于點(diǎn)M，過M的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．設(shè)A（x1 ， y1）到準(zhǔn)線l的距離為d，且d=λp（λ＞0）．
（1）若y1=d=1，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若 +λ = ，求證：直線AB的斜率為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由條件知，x1=1﹣ ，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣ ，1），代入拋物線方程得p=1，

∴拋物線方程為y2=2x，

（2）證明：設(shè)B（x2，y2），直線AB的方程為y=k（x+ ），

將直線AB的方程代入y2=2px，消去y得： ，

解得：x1= ，x2= ．

∵d=λp，

∴ ，

+λ = ， ，

∴p=x2﹣x1= ，

∴ ，

∴直線AB的斜率為定值．

【解析】（1）由題意可知x1=1﹣ ，A點(diǎn)坐標(biāo)為（1﹣ ，1），將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程求得p的值，寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線AB過M（﹣ ，0），設(shè)直線AB的方程為y=k（x+ ），代入拋物線方程y2=2px，消去y，整理得 ，解出x1、x2，將d=x1+ ，代入d=λp，得 ， +λ = ，可知， ，將x1、x2代入，即可解得 ，可證直線AB的斜率為定值．