Question

19．O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，則λ+2μ-1的取值范圍為（　　）

• A． （-1，1）
• B． （-1，]
• C． [-1，1）
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 取AC中點(diǎn)D、連結(jié)BD，并設(shè)AO所在直線(xiàn)交BD于E點(diǎn)，$\overrightarrow{AO}$=k$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+2μ$\overrightarrow{AD}$，通過(guò)B、E、D三點(diǎn)共線(xiàn)可得$\frac{λ}{k}$+$\frac{2μ}{k}$=1即λ+2μ=k，顯然k＞0，并且O趨向C時(shí)，k逐漸增大，當(dāng)O與C重合時(shí)k=2，所以0＜k＜2，進(jìn)而可得結(jié)論．

解答 解：如圖，取AC中點(diǎn)D、連接BD，設(shè)AO所在直線(xiàn)和BD交于E，
并設(shè)$\overrightarrow{AO}$=k$\overrightarrow{AE}$，∴k$\overrightarrow{AE}$=λ$\overrightarrow{AB}$+2μ$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{λ}{k}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2μ}{k}$$\overrightarrow{AD}$，
∵B、D、E三點(diǎn)共線(xiàn)；
∴$\frac{λ}{k}$+$\frac{2μ}{k}$=1，
∴λ+2μ=k，
∵O在△ABC內(nèi)，
∴k＞0，而當(dāng)O趨向于C點(diǎn)時(shí)，k不斷增大，且k趨向2，
∴0＜k＜2；
∴λ+2μ-1的取值范圍為（-1，1），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查共線(xiàn)向量基本定理，當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，若$\overrightarrow{AO}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，則λ+μ=1，要弄清O點(diǎn)的位置和k的取值的關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．