Question

已知函f（x）=1-2a^x-a^2x（a＞1）
（1）求函f（x）的值域；
（2）若x∈[-2，1]時，函f（x）的最小值-7，求a的值和函f（x） 的最大值．

Answer 1

解：設a^x=t＞0
∴y=-t²-2t+1=-（t+1）²+2
（1）∵t=-1∉（1，+∞）
∴y=-t²-2t+1在（0，+∞）上是減函數(shù)
∴y＜1所以值域為（-∞，1）

（2）∵x∈[-2，1]a＞1
∴t∈[，a]由t=-1∉[，a]
∴y=-t²-2t+1在[，a]上是減函數(shù)-a2-2a+1=-7
∴a=2或a=-4（不合題意舍去）
當t==時y有最大值，
即y_max=-（）²-2×+1=
分析：（1）先進行換元，還原以后寫出新變量t的取值范圍，則函數(shù)變化為關于t的二次函數(shù)，問題轉化為二次函數(shù)的單調性和值域，根據(jù)二次函數(shù)的性質，得到結果．
（2）根據(jù)所給的x的范圍，寫出t的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質，寫出函數(shù)在定義域上的最值，根據(jù)最小值的結果，做出a的值，進而得到函數(shù)的最大值．
點評：本題考查函數(shù)的最值，考查二次函數(shù)的性質，考查指數(shù)函數(shù)的定義域，是一個綜合題目，這種題目可以作為壓軸題目的一部分．