Question

已知實(shí)數(shù)m>1，定點(diǎn)A（－m，0），B（m，0），S為一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)S與A，B兩點(diǎn)連線(xiàn)斜率之積為

   （1）求動(dòng)點(diǎn)S的軌跡C的方程，并指出它是哪一種曲線(xiàn)；

   （2）當(dāng)時(shí)，問(wèn)t取何值時(shí)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)C有且只有一個(gè)交點(diǎn)？

   （3）在（2）的條件下，證明：直線(xiàn)l上橫坐標(biāo)小于2的點(diǎn)P到點(diǎn)（1，0）的距離與到直線(xiàn)x=2的距離之比的最小值等于曲線(xiàn)C的離心率.

Answer 1

解：（1）設(shè).

       由題意得

       ∵m>1，∴軌跡C是中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓（除去x軸上的兩項(xiàng)點(diǎn)），其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為2.

   （2）當(dāng)m=時(shí)，曲線(xiàn)C的方程為

       由

       令

       此時(shí)直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

   （3）直線(xiàn)l方程為2x－y+3=0.

       設(shè)點(diǎn)表示P到點(diǎn)（1，0）的距離，d₂表示P到直線(xiàn)x=2的距離，

       則

      

       令

       則

       令

      

       ∴的最小值等于橢圓的離心率。