Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值為m．若m≥k對任意的b、c恒成立，則k的最大值是

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：函數(shù)f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值為f（-1），f（1），f（b）三個中最大的一個值，然后根據(jù)b、c任意，然后取b=0，c=與b=0，c=進(jìn)行判定，假設(shè)f（b）=|b²+c|=m，f（-1）≤m，f（1）≤m，從而求出m的范圍，即可求出所求．
解答：函數(shù)f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值為f（-1），f（1），f（b）三個中最大的一個值
而f（-1）=|c-2b-1|，f（1）=|c+2b-1|，f（b）=|b²+c|
∵m≥k對任意的b、c恒成立，
∴當(dāng)b=0，c=時也成立即f（x）=|-x²+|，x∈[-1，1]的最大值為
故可排除選項(xiàng)A
當(dāng)b=0，c=時也成立即f（x）=|-x²+|，x∈[-1，1]的最大值為
假設(shè)f（b）=|b²+c|=m，則c=m-b²或c=-m-b²
f（-1）=|c-2b-1|≤m，f（1）=|c+2b-1|≤m，
∴（b+1）²≤2m，（b-1）²≤2m，將兩式相加得：2b²+2≤4m
即m≥，而m≥k，k的最大值是
故選B．
點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及二次函數(shù)的性質(zhì)和排除法的運(yùn)用，屬于難題．