如圖，已知△SCD中，SD=3，CD=
5
，cos∠SCD=-
1
5
5
，SA=2AD，AB⊥SD交SC于B，M為SB上點，且SM=2MB，將△SAB沿AB折起，使平面SAB⊥平面ABCD

（Ⅰ）求證：AM∥平面SCD；
（Ⅱ）設(shè)點N是直線CD上的點，且
DN
=
1
2
NC
，求MN與平面SCD所成角的正弦值．
考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（Ⅰ）以點A為原點建立空間直角坐標系，求出平面SCD的法向量，證明
AM
⊥
n
，即可證明AM∥平面SCD；
（Ⅱ）設(shè)MN與平面SCD所成角為α，利用sinα=
|
MN
•
n
|
|
MN
||
n
|
，即可求出MN與平面SCD所成角的正弦值．
解答： （Ⅰ）證明：以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則
A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，2，0），D（1，0，0），S（0，0，2），M（0，
2
3
，
2
3
）．
則
AM
=（0，
2
3
，
2
3
），
SD
=（1，0，-2），
CD
=（-1，-2，0）
設(shè)平面SCD的法向量是
n
=（x，y，z），則
x-2z=0
-x-2y=0

，令z=1，則x=2，y=-1，于是
n
=（2，-1，1）．
∴
AM
•
n
=0，∴
AM
⊥
n
．
∴AM∥平面SCD．
（Ⅱ）解：∵
DN
=
1
2
NC
，
∴
AN
=
2
3
AD
+
1
3
AC
，
∴N（
4
3
，
2
3
，0），
∴
MN
=（
4
3
，0，-
2
3
），
由（Ⅰ）知平面SCD的法向量
n
=（2，-1，1）．
設(shè)MN與平面SCD所成角為α，則
sinα=
|
MN
•
n
|
|
MN
||
n
|
=
30
10

∴MN與平面SCD所成角的正弦值為
30
10
．
點評：本題考查線面平行，線面角，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求向量是關(guān)鍵．
練習(xí)冊系列答案
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若函數(shù)f（x）=x3-x2+a在[-1，1]的最小值是1，則實數(shù)a的值是（　�。�
A、1
B、3
C、
31
27
D、-1

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在極坐標系中，圓ρ=4cosθ的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（　�。�
A、θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=4
B、θ=
π
2
（ρ∈R）和ρcosθ=4
C、θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2
D、θ=
π
2
（ρ∈R）和ρcosθ=2

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如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2，點P為上頂點，圓 O：x2+y2=b2將橢圓C的長軸三等分，直線l：y=mx-
4
5
（m≠0）與橢圓C交于A、B兩點，PA、PB與圓O交于M、N兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求證△APB為直角三角形；
（Ⅲ）設(shè)直線MN的斜率為n，求證：
m
n
為定值．

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解關(guān)于x的不等式：x（6-x）≥-16．

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已知數(shù)列an=
8n
(2n-1)2×(2n+1)2
（n∈N*），其前n項和為Sn．經(jīng)計算得：S1=
8
9
，S2=
24
25
，S3=
48
49
，S4=
80
81
．
（Ⅰ）觀察上述結(jié)果，猜想計算Sn的公式；
（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明所提猜想．

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（1）求證：BC∥EF；
（2）求三棱錐B-DEF的體積．

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如圖，已知多面體EABCDF的底面ABCD是邊長為2的正方形，EA⊥底面ABCD，F(xiàn)D∥EA，且FD=
1
2
EA=1．
（Ⅰ）求多面體EABCDF的體積；
（Ⅱ）求直線EB與平面ECF所成角的正弦值；
（Ⅲ）記線段BC的中點為K，在平面ABCD內(nèi)過點K作一條直線與平面ECF平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．

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