Question

某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)測，存款量與利率的平方成正比，比例系數(shù)為k（k＞0），且知當(dāng)利率為0.012時(shí)，存款量為1.44億；又貸款的利率為4.8%時(shí)，銀行吸收的存款能全部放貸出去；若設(shè)存款的利率為x，x∈（0，0.048），則當(dāng)x為多少時(shí)，銀行可獲得最大收益？

Answer 1

分析：由題意知：存款量f（x）=kx²，當(dāng)利率為0.012時(shí)，存款量為1.44億，由1.44=k•（0.012）²，得k=10000，得f（x）=10000x²，銀行應(yīng)支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x³，設(shè)銀行可獲收益為y，則y=480x²-10000x³，再由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出當(dāng)x為多少時(shí)，銀行可獲得最大收益．

解答：解：由題意知：存款量f（x）=kx²，
當(dāng)利率為0.012時(shí)，存款量為1.44億，
即x=0.012時(shí)，y=1.44；
由1.44=k•（0.012）²，得k=10000，
∴f（x）=10000x²，
銀行應(yīng)支付的利息g（x）=x•f（x）=10000x³，
設(shè)銀行可獲收益為y=貸款收益-利息支出，
則y=480x²-10000x³，
由于y'=960x-30000x²，則y'=0，
即960x-30000x²=0，得x=0或x=0.032．
因?yàn)閤∈（0，0.032）時(shí)，y'＞0，
此時(shí)，函數(shù)y=480x²-10000x³遞增；
x∈（0.032，0.048）時(shí)，y'＜0，
此時(shí)，函數(shù)y=480x²-10000x³遞減；
故當(dāng)x=0.032時(shí)，y有最大值，其值約為0.164億．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．