Question

已知△ABC中，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.

AB

•

AC

=m（m為正常數(shù)），∠BAC=θ，且a=2．
（Ⅰ）若bc有最大值4，求m的值及θ的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)f（θ）=2cos²（θ+

π

4

）+2

3

sin²θ-

3

的最大值及相應(yīng)的θ的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦

專題：

分析：（1）向量的數(shù)量積，利用余弦定理求出b²+c²-2m=4，通過(guò)基本不等式求b•c的最大值及θ的取值范圍；
（2）利用二倍角的余弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的三角函數(shù)的形式，通過(guò)角的范圍正弦函數(shù)的最值求出函數(shù)的最大值即相應(yīng)的θ值．

解答： 解：（Ⅰ）由余弦定理可得，b²+c²-2bccosθ=4，即b²+c²-2m=4，又bc≤

1

2

（b²+c²）=m+2=4，∴m=2；
∴有bccosθ=2，cosθ=

2

bc

≥

1

2

，∴θ∈（0，

π

3

]；
（Ⅱ）∵f（θ）=1+cos（2θ+

π

2

）+

3

（1-cos2θ）-

3

=-sin2θ-

3

cos2θ+1
=-2sin（2θ+

π

3

）+1．
由（Ⅰ）可知θ∈（0，

π

3

]，
∴2θ+

π

3

∈（

π

3

，π]，sin（2θ+

π

3

）∈[0，1]，
∴f（θ）_max=1，此時(shí)θ=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，余弦定理的應(yīng)用，掌握正弦函數(shù)的基本性質(zhì)，是解好本題的關(guān)鍵．