Question

已知a、b、c是Rt△ABC的三邊，c為斜邊，若a²（a+b）+b²（c+a）+c²（b+a）≥kabc恒成立，則k的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,解三角形

分析：在Rt△中，a=csinA，b=ccosA，依題意，a²（b+c）+b²（c+a）+c²（b+a）≥kabc恒成立?k≤

a2(b+c)+b2(a+c)+c2(b+a)

abc

=sinA+cosA+

sinA+cosA+1

sinAcosA

，令t=sinA+cosA，求得f（t）=t+

t+1

t2-1 2

=（t-1）+

2

t-1

+1的最小值即可．

解答： 解：依題意，a²（b+c）+b²（c+a）+c²（b+a）≥kabc恒成立?k≤

a2(b+c)+b2(a+c)+c2(b+a)

abc

對(duì)任意a、b、c均成立，
∵△ABC為直角三角形，c為斜邊，
∴a=csinA，b=csinB=ccosA，
∴

a2(b+c)+b2(a+c)+c2(b+a)

abc

=

c2sin2A(ccosA+c)+c2cos2A(csinA+c)+c2(ccosA+csinA)

c3sinAcosA

=sinA+cosA+

sinA+cosA+1

sinAcosA

，
令t=sinA+cosA，
則t=

2

sin（A+

π

4

），由A∈（0，

π

2

）知，t∈（1，

2

]，
由t=sinA+cosA得：sinAcosA=

t2-1

2

，
則f（t）=t+

t+1

t2-1 2

=t+

2

t-1

=（t-1）+

2

t-1

+1，
∵t∈（1，

2

]，∴t-1∈（0，

2

-1]，
∴由雙鉤函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)t-1=

2

-1，即t=

2

時(shí)，f（t）取得最小值

2

+

2

2 -1

=3

2

+2，
∴k≤3

2

+2，
故k的最大值為3

2

+2，
故答案為：3

2

+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與換元思想、構(gòu)造函數(shù)思想，考查雙鉤函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，屬于難題．