Question

設(shè)a＞0，函數(shù) f（x）=．
（Ⅰ）求函數(shù) f（x） 的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng) x=時(shí)，函數(shù)f（x） 取得極值，證明：對(duì)于任意的 x₁，x₂∈[，]；|f（x₁）-f（x₂）|≤．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=（3分）
（1）當(dāng)a≥1時(shí)，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
（2）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，令f′（x）＞0，即（x-1）²+a-1＞0，
解得x＜1-，活x＞1+．
因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1-）內(nèi)單調(diào)遞增，
在區(qū)間（1+，+∞）內(nèi)也單調(diào)遞增．
令f′（x）＜0，即（x-1）²+a-1＜0，解得1-＜x＜1+．
因此，函數(shù)f（x）在區(qū)間（1-，1+）內(nèi)單調(diào)遞減．（8分）
（Ⅱ）當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，
即f′（）=0，∴（）²+a-2×=0，∴a=
由（Ⅰ）f（x）在（-∞，）單調(diào)遞增，
在（1，）單調(diào)遞減，（，+∞）單調(diào)遞增．
f（x）在x=時(shí)取得極大值f（）=；
f（x）在x=時(shí)取得極小值f（）=，
故在[，]上，f（x）的最大值是f（）=，
最小值是f（）；
對(duì)于任意的x₁，x₂∈[，]，|f（x₁）-f（x₂）|≤（14分）
分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性
（Ⅱ）當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)f（x）取得極值，所以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)的值為零，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，求出函數(shù)的端點(diǎn)值，進(jìn)而求出最值．再根據(jù)函數(shù)兩最值之差最大，證明問(wèn)題
點(diǎn)評(píng)：該題考查函數(shù)的求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)函數(shù)兩最值之差最大證明