Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=-14，3a_n-a_n-1=4n（n≥2，n∈N^*）．
（I）求證：數(shù)列{a_n-2n+1}是等比數(shù)列；
（II）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）要證數(shù)列{a_n-2n+1}是等比數(shù)列，利用已知條件構(gòu)造，只要證明即可
（II）由（I）可求a_n，通過比較a_n與a_n-1的大小研究數(shù)列的單調(diào)性，且通過且a₁＜0，a₂＜0，a₃＞0，可知數(shù)列和的最小值
解答：解：（I）∵3a_n-a_n-1=4n（n≥2，n∈N^*），∴，∴，（4分）
∴a_n-2n+1是以-15為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（6分）
（II）∵，∴，
當(dāng)n≥2時(shí)，，
∴數(shù)列a_n是單調(diào)遞增數(shù)列，且a₁＜0，a₂＜0，a₃＞0，（12分）
∴當(dāng)且僅當(dāng)n=2時(shí)，S_n的最小值是S₂=a₁+a₂=-14+（-2）=-16．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題利用定義構(gòu)造證明等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的定義，構(gòu)造兩項(xiàng)相除為定值的形式，做差法是比較兩式大小的常用方法，通過研究數(shù)列的單調(diào)性，求數(shù)列和的最值問題，是數(shù)列問題的常考類型，屬于綜合性試題．