Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n為偶數(shù)}\\{{a}_{n}+1，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，a₁=1，若b_n=a_2n-1+2（b_n≠0）
（1）求a₄，并證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）令c_n=n•a_2n-1，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n為偶數(shù)}\\{{a}_{n}+1，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，a₁=1，分別令n=1，2，3，即可得出a₄．由b_n=a_2n-1+2（b_n≠0），可得b_n+1=a_2n+1+2，化為b_n+1=2b_n，即可證明．
（2）由（1）知：b_n=3•2^n-1，可得a_2n-1=3•2^n-1-2，且c_n=n•a_2n-1=3n•2^n-1-2n，利用“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{n}，n為偶數(shù)}\\{{a}_{n}+1，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$，a₁=1，∴a₂=a₁+1=2，a₃=2a₂=4，a₄=a₃+1=5．
∵b_n=a_2n-1+2（b_n≠0），
∴b_n+1=a_2n+1+2=2a_2n+2=2（a_2n-1+1）+2=2（b_n-2+1）+2，化為b_n+1=2b_n，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項為b₁=a₁+2=3，公比為2；
（2）由（1）知：b_n=3•2^n-1，∴a_2n-1=3•2^n-1-2
且c_n=n•a_2n-1=3n•2^n-1-2n，
令S_n=1+2•2¹+…+n•2^n-1，①
2S_n=2+2•2²+…+n•2ⁿ，②
①-②得：-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ+1．
故T_n=3S_n-$2×\frac{n（n+1）}{2}$=3（n-1）×2ⁿ-n²-n．

點評 本題考查了遞推式的應用、“錯位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．