Question

14．已知函數(shù)k（x）=alnx，h（x）=2a²lnx+x²，（a≠0），設(shè)f（x）=k（x）+h′（x）-x．
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象在x=1處的切線與直線2x+y-10=0平行，求a的值；
（2）當(dāng)a∈（-∞，0）時，記函數(shù)f（x）的最小值為g（a）．求證：g（a）≤$\frac{{e}^{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得k=-2，解方程即可得到a的值；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和極小值，也為最小值g（a），再令h（x）=xln（-2x）-3x，（x＜0），求出導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，可得極大值，也為最大值，即可得證．

解答 （1）解：f（x）=k（x）+h′（x）-x=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$+x，
f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2{a}^{2}}{{x}^{2}}$+1，
即有函數(shù)y=f（x）的圖象在x=1處的切線斜率為k=a-2a²+1，
由切線與直線2x+y-10=0平行，即有a-2a²+1=-2，
解得a=-1或$\frac{3}{2}$；
（2）證明：當(dāng)a∈（-∞，0）時，f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{2{a}^{2}}{{x}^{2}}$+1=$\frac{（x-a）（x+2a）}{{x}^{2}}$，
由x＞0，a＜0，則x-a＞0，當(dāng)x＞-2a時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
當(dāng)0＜x＜-2a時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=-2a處f（x）取得極小值，也為最小值，且為g（a）=aln（-2a）-3a，
令h（x）=xln（-2x）-3x，（x＜0），
h′（x）=ln（-2x）-2，
當(dāng)x＜-$\frac{1}{2}$e²時，h′（x）＞0，h（x）遞增；當(dāng)-$\frac{1}{2}$e²＜x＜0時，h′（x）＜0，h（x）遞減．
即有x=-$\frac{1}{2}$e²處h（x）取得極大值，也為最大值，且為-e²+$\frac{3}{2}$e²=$\frac{1}{2}$e²．
綜上可得，g（a）≤$\frac{{e}^{2}}{2}$成立．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，注意不等式的恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，同時考查兩直線平行的條件和構(gòu)造函數(shù)的能力，屬于中檔題．