Question

18．若x，y為非零實數(shù)，代數(shù)式$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$-8（$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$）+15的值恒為正，對嗎？答不對．

Answer 1

分析 由題意設(shè)t=$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$，由條件和基本不等式求出t的范圍，求出$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$代入代數(shù)式化簡，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出代數(shù)式的最小值，即可得到答案．

解答 解：由題意設(shè)t=$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$，
由x，y為非零實數(shù)得，當xy＞0時，$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$≥2，
當xy＜0時，-（$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$）≥2，則$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$≤-2（當且僅當$\frac{x}{y}=\frac{y}{x}$時取等號），
所以t≤-2或t≥2，
因為${（\frac{x}{y}+\frac{y}{x}）}^{2}$=$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$+2，所以$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$=${（\frac{x}{y}+\frac{y}{x}）}^{2}$-2=t²-2，
則$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$-8（$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$）+15=t²-8t+13，
設(shè)y=t²-8t+13=（t-4）²-3，
由t≤-2或t≥2得，當t=時函數(shù)y取到最小值是：-3，
所以t²-8t+13≥-3，則$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$-8（$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$）+15≥-3，
所以代數(shù)式$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{x}^{2}}$-8（$\frac{x}{y}$+$\frac{y}{x}$）+15的值不恒為正，
故答案為：不對．

點評 本題考查基本不等式，二次函數(shù)的性質(zhì)，以及換元法的應(yīng)用，屬于中檔題．