對于函數(shù)y=f（x），若存在區(qū)間[a，b]，當x∈[a，b]時，f（x）的值域為[ka，kb]（k＞0），則稱y=f（x）為k倍值函數(shù)．若f（x）=lnx+x是k倍值函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是
（1，1+
1
e
）
（1，1+
1
e
）
．
分析：由于f（x）在定義域{x|x＞0} 內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，利用導數(shù)求得g（x）的極大值為：g（e）=1+
1
e
，當x趨于0時，g（x）趨于-∞，當x趨于∞時，g（x）趨于1，因此當1＜k＜1+
1
e
 時，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個交點，滿足條件，從而求得k的取值范圍．
解答：解：∵f（x）=lnx+x，定義域為{x|x＞0}，f（x）在定義域為單調(diào)增函數(shù)，
因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+a=ka，lnb+b=kb，即a，b為方程lnx+x=kx的兩個不同根．
∴k=1+
lnx
x
，令 1+
lnx
x
=g（x），令 g'（x）=
1-lnx
x2
=0，可得極大值點x=e，故g（x）的極大值為：g（e）=1+
1
e
，
當x趨于0時，g（x）趨于-∞，當x趨于∞時，g（x）趨于1，
因此當1＜k＜1+
1
e
 時，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個交點，方程 k=1+
lnx
x
 有兩個解．
故所求的k的取值范圍為（1，1+
1
e
），
故答案為 （1，1+
1
e
）．
點評：本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的值的方法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f(x+
π
2
)為偶函數(shù)，對于函數(shù)y=f（x）有下列幾種描述：
①y=f（x）是周期函數(shù)②x=π是它的一條對稱軸；③（-π，0）是它圖象的一個對稱中心；
④當x=
π
2
時，它一定取最大值；其中描述正確的是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列五個命題：
①函數(shù)y=f（x），x∈R的圖象與直線x=a可能有兩個不同的交點；
②函數(shù)y=log2x2與函數(shù)y=2log2x是相等函數(shù)；
③對于指數(shù)函數(shù)y=2x與冪函數(shù)y=x2，總存在x0，當x＞x0 時，有2x＞x2成立；
④對于函數(shù)y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）•f（b）＜0，則f（x）在（a，b）內(nèi)有零點．
⑤已知x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，則x1+x2=5．
其中正確的序號是
③⑤
③⑤
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•和平區(qū)一模）函數(shù)y=f（x）是定義在[a，b]上的增函數(shù)，其中a，b∈R，且0＜b＜-a，已知y=f（x）無零點，設(shè)F（x）=f2（x）+f2（-x），則對于函數(shù)y=F（x）有如下四種說法：①定義域是[-b，b]；②最小值是0；③是偶函數(shù)；④在定義域內(nèi)單調(diào)遞增．其中正確的說法是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2010•上海模擬）對于函數(shù)y=f（x）的圖象上任意兩點A（a，f（a）），B（b，f（b）），設(shè)點C分
AB
的比為λ（λ＞0）．若函數(shù)為f（x）=x2（x＞0），則直線AB必在曲線AB的上方，且由圖象特征可得不等式
a2+λb2
1+λ
＞(
a+λb
1+λ
)2．若函數(shù)為f（x）=log2010x，請分析該函數(shù)的圖象特征，上述不等式可以得到不等式
log2010a+log2010b
1+λ
＜log2010
a+λb
1+λ
log2010a+log2010b
1+λ
＜log2010
a+λb
1+λ
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在區(qū)間[-3，3]上的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，對于函數(shù)y=f（x）的圖象上任意兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））都有（x1-x2）•[f（x1）-f（x2）]＜0．若實數(shù)a，b滿足f（a2-2a）+f（2b-b2）≤0，則點（a，b）所在區(qū)域的面積為（　�。�
A、8B、4C、2D、1

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