【題目】如圖,在多面體中,為等邊三角形, ,點為邊的中點.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)見解析; (Ⅱ)見解析; (Ⅲ).
【解析】
(I)取中點,連結(jié),利用三角形中位線定理可證明是平行四邊形,可得,由線面平行的判定定理可得結(jié)果;(Ⅱ)先證明,,可得平面 ,從而可得平面,由面面垂直的判定定理可得結(jié)果;(Ⅲ)取中點,連結(jié),直線與平面所成角等于直線與平面所成角,
過作,垂足為,連接,為直線與平面所成角,利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.
(I)
取中點,連結(jié)
,
是平行四邊形,
平面,平面, 平面.
(II) ,
又 平面
平面 ,
又為等邊三角形,為邊的中點,
平面
由(I)可知, 平面,
平面 平面平面。
(III)
取中點,連結(jié),
所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角,
過作,垂足為,連接.
平面平面 ,平面, 平面.
為斜線在面內(nèi)的射影,為直線與平面所成角,
在中,
直線與平面所成角的正弦值為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某種商品在天內(nèi)每件的銷售價格(元)與時間()(天)的函數(shù)關(guān)系滿足函數(shù),該商品在天內(nèi)日銷售量(件)與時間()(天)之間滿足一次函數(shù)關(guān)系如下表:
第天 | ||||
件 |
(1)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù),確定日銷售量與時間的一次函數(shù)關(guān)系式;
(2)求該商品的日銷售金額的最大值并指出日銷售金額最大的一天是天中的第幾天,(日銷售金額每件的銷售價格日銷售量)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況,交通部門隨機對50名家用轎車駕駛員進行調(diào)查,得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為:在30名男性駕駛員中,平均車速超過的有20人,不超過的有10人.在20名女性駕駛員中,平均車速超過的有5人,不超過的有15人.
(1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有99.5%的把握認為平均車速超過的人與性別有關(guān);
(2)以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體,現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機抽取3輛,記這3輛車中駕駛員為女性且車速不超過的車輛數(shù)為,若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求的數(shù)學期望.
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】設(shè)集合A={x∈R|x2+4x=0},B={x∈R|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R},若BA,求實數(shù)a的值.
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【題目】如圖所示,已知橢圓C: + =1(a>b>0)的焦距為2,直線y=x被橢圓C截得的弦長為 .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點M(x0 , y0)是橢圓C上的動點,過原點O引兩條射線l1 , l2與圓M:(x﹣x0)2+(y﹣y0)2= 分別相切,且l1 , l2的斜率k1 , k2存在.
①試問k1k2是否定值?若是,求出該定值,若不是,說明理由;
②若射線l1 , l2與橢圓C分別交于點A,B,求|OA||OB|的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax(lnx﹣1)﹣x2(a∈R)恰有兩個極值點x1 , x2 , 且x1<x2 . (Ⅰ)求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若不等式lnx1+λlnx2>1+λ恒成立,求實數(shù)λ的取值范圍.
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【題目】某經(jīng)銷商從外地水產(chǎn)養(yǎng)殖廠購進一批小龍蝦,并隨機抽取40只進行統(tǒng)計,按重量分類統(tǒng)計結(jié)果如圖:
(1)記事件A為:“從這批小龍蝦中任取一只,重量不超過35g的小龍蝦”,求P(A)的估計值;
(2)若購進這批小龍蝦100千克,試估計這批小龍蝦的數(shù)量;
(3)為適應(yīng)市場需求,了解這批小龍蝦的口感,該經(jīng)銷商將這40只小龍蝦分成三個等級,如下表:
等級 | 一等品 | 二等品 | 三等品 |
重量(g) | [5,25) | [25,45) | [45,55] |
按分層抽樣抽取10只,再隨機抽取3只品嘗,記X為抽到二等品的數(shù)量,求抽到二級品的期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】合肥一中、六中為了加強交流,增進友誼,兩校準備舉行一場足球賽,由合肥一中版畫社的同學設(shè)計一幅矩形宣傳畫,要求畫面面積為,畫面的上、下各留空白,左、右各留空白.
(1)如何設(shè)計畫面的高與寬的尺寸,才能使宣傳畫所用紙張面積最小?
(2)設(shè)畫面的高與寬的比為,且,求為何值時,宣傳畫所用紙張面積最小?
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