Question

19．已知點P是半徑為1的⊙O上的動點，線段AB是⊙O的直徑．則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍為[-4，4]．

Answer 1

分析 以AB所在直線為x軸，圓心O為原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy．設(shè)A（-1，0），B（1，0），P（m，n），求出向量AB，PA，PB的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和點在圓上的性質(zhì)，即可得到所求范圍．

解答 解：以AB所在直線為x軸，圓心O為原點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy．
設(shè)A（-1，0），B（1，0），P（m，n），
則$\overrightarrow{PA}$=（m+1，n），$\overrightarrow{PB}$=（m-1，n），$\overrightarrow{AB}$=（2，0），
即有$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PB}$=2（m+1）+2（m-1）=4m，
由-1≤m≤1，可得-4≤4m≤4．
即有$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PB}$的取值范圍是[-4，4]．
故答案為：[-4，4]．

點評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，同時考查坐標(biāo)法的運(yùn)用和點在圓上的性質(zhì)，屬于中檔題．