(Ⅰ)確定的取值范圍,并求直線AB的方程;
(Ⅱ)試判斷是否存在這樣的,使得A、B、C、D四點在同一個圓上?并說明理由.
21.(Ⅰ)解法1:依題意,可設直線AB的方程為
,整理得
①
設是方程①的兩個不同的根,
∴ ②
且由N(1,3)是線段AB的中點,得
解得k=-1,代入②得,的取值范圍是(12,+∞).
于是,直線AB的方程為
解法2:設則有
依題意,
∵N(1,3)是AB的中點,∴
又由N(1,3)在橢圓內,∴
∴的取值范圍是(12,+∞).
直線AB的方程為y-3=-(x-1),即x+y-4=0.
(Ⅱ)解法1:∵CD垂直平分AB,∴直線CD的方程為y-3=x-1,即x-y+2=0,
代入橢圓方程,整理得
③
又設CD的中點為是方程③的兩根,
∴
于是由弦長公式可得
④
將直線AB的方程x+y-4=0,代入橢圓方程得
⑤
同理可得
⑥
∵當時,.
假設存在>12,使得A、B、C、D四點共圓,則CD必為圓的直徑,點M為圓心.
點M到直線AB的距離為
⑦
于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故當>12時,A、B、C、D四點均在以M為圓心,為半徑的圓上.
(注:上述解法中最后一步可按如下解法獲得:
A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形,A為直角|AN|2=|CN|·|DN|,
即 = ( +d) (-d)⑧
由⑥式知,⑧式左邊=
由④和⑦知,⑧式右邊=-=
∴⑧式成立,即A、B、C、D四點共圓.)
解法2:由(Ⅱ)解法1及λ>12,
∵CD垂直平分AB, ∴直線CD方程為y-3=x-1,代入橢圓方程,整理得
③
將直線AB的方程x+y-4=0,代入橢圓方程,整理得
⑤
解③和⑤式可得
不妨設
又B為A關于CD的對稱點,∴A、B、C、D四點共圓.
(注:也可用勾股定理證明AC⊥AD).
科目:高中數學 來源: 題型:
| ||
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
| ||
2 |
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
F2P |
F2Q |
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源:2014屆浙江省紹興市高三上學期回頭考試理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,F1,F2是離心率為的橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點,直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長度之比為1 : 3.設A,B是C上的兩個動點,線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點,線段AB的中點M在直線l上.
(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源:2012-2013學年浙江省臨海市高三第三次模擬理科數學試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,F1,F2是離心率為的橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點,直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長度之比為1 : 3.設A,B是C上的兩個動點,線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點,線段AB的中點M在直線l上.
(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源:2012-2013學年江西南昌10所省高三第二次模擬突破沖刺理科數學(一)(解析版) 題型:解答題
如圖,F1,F2是離心率為的橢圓
C:(a>b>0)的左、右焦點,直線:x=-將線段F1F2分成兩段,其長度之比為1 : 3.設A,B是C上的兩個動點,線段AB的中點M在直線l上,線段AB的中垂線與C交于P,Q兩點.
(Ⅰ) 求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 是否存在點M,使以PQ為直徑的圓經過點F2,若存在,求出M點坐標,若不存在,請說明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com