Question

5．已知方程$\frac{{x}^{2}}{4-m}-\frac{{y}^{2}}{2+m}=1$．
（1）若方程表示雙曲線，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）若方程表示橢圓，且橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）方程表示雙曲線，即有（4-m）（2+m）＞0，解不等式即可得到所求范圍；
（2）討論焦點(diǎn)的位置，運(yùn)用橢圓的a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到m的值．

解答 解：（1）方程表示雙曲線，即有
（4-m）（2+m）＞0，解得-2＜m＜4，
即m的取值范圍是（-2，4）；
（2）方程表示橢圓，
若焦點(diǎn)在x軸上，即有4-m＞-2-m＞0，
且a²=4-m，b²=-2-m，c²=a²-b²=6，
即有e²=$\frac{3}{4}$=$\frac{6}{4-m}$，解得m=-4；
若焦點(diǎn)在y軸上，即有0＜4-m＜-2-m，
且b²=4-m，a²=-2-m，c²=a²-b²=-6，不成立．
綜上可得m=-4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓、雙曲線的方程和性質(zhì)，注意它們的標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)別，考查離心率公式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．