Question

9．如圖．在四棱錐P-ABCD中，∠PAD=90°，PA⊥CD．點M是棱PD的中點．
（1）證明：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）若底面ABCD是邊長為2的正方形，PA=2，求異面直線AP與BM所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由線面垂直的判定定理，可得PA⊥平面ABCD，再由面面垂直的判定定理，即可得證；
（2）取AD的中點為N，連接MN，AN，由線面垂直的性質定理，結合勾股定理，可得BN，BM，再由解直角三角形，即可得到所求余弦值．

解答 解：（1）證明：∠PAD=90°，即為PA⊥AD，
又PA⊥CD，AD∩CD=D，
即有PA⊥平面ABCD，
PA?平面PAB，故平面PAB⊥平面ABCD；
（2）取AD的中點為N，連接MN，AN，
在直角△ABN中，AB=2，AN=1，BN=$\sqrt{5}$，
由（1）可得PA⊥平面ABCD，
即有PA⊥BN，MN∥PA，即有：
MN和MB所成的角（或補角）即為異面直線AP與BM所成角，
在直角三角形BMN中，MN=1，BN=$\sqrt{5}$，BM=$\sqrt{6}$，
即有異面直線AP與BM所成角的余弦值為$\frac{MN}{MB}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點評 本題考查面面垂直的判定和異面直線所成的角的求法，注意運用線面垂直的判定定理和三角形的中位線定理，考查推理能力和運算能力，屬于中檔題．