Question

【題目】【2018河北保定市上學(xué)期期末調(diào)研】已知點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到軸的距離大1．

（I）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（II）設(shè)直線： ，交軌跡于、兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，試在軌跡的部分上求一點(diǎn)，使得的面積最大，并求其最大值．

Answer 1

【答案】（I）或；（II）．

【解析】試題分析：（1）求軌跡方程可直接根據(jù)題意設(shè)點(diǎn)列等式化簡即可或者根據(jù)我們所學(xué)的橢圓、雙曲線、拋物線的定義取對比也行本題因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0) 的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，所以點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離等于它到直線m:x＝－1的距離由拋物線定義知道，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，m為準(zhǔn)線的拋物線或x軸負(fù)半軸；（2）根據(jù)題意先分析如何使的面積最大，可知當(dāng)直線l的平行線與拋物線相切時(shí)△ABP的面積最大,然后根據(jù)點(diǎn)到線的距離公式求出高，弦長公式求出底，即得出面積

解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0) 的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，所以點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離等于它到直線m:x＝－1的距離

由拋物線定義知道，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，m為準(zhǔn)線的拋物線或x軸負(fù)半軸

設(shè)軌跡C的方程為： ， ,

軌跡C方程為： ， 或 .

（2）設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2）, P（x0,y0）,

直線l化成斜截式為 ,當(dāng)直線l的平行線與拋物線相切時(shí)△ABP的面積最大,

由圖知P點(diǎn)在第四象限.拋物線在x軸下方的圖象解析式： ，所以,

，解得， ,所以P點(diǎn)坐標(biāo),P點(diǎn)到l的距離, A，B兩點(diǎn)滿足方程組 化簡得.

x1,x2 為該方程的根. 所以 ,

,

.