Question

已知函數(shù)，其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，試確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為；（Ⅱ）詳見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)得，，因?yàn)?/span>，所以的解集為，即單調(diào)遞增區(qū)間；的解集為，即單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)，令，得，顯然是一個(gè)零點(diǎn)，記，求導(dǎo)得，易知時(shí)遞減；時(shí)遞增，故的最小值，又，故，即，所以函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)1個(gè).

試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)?/span>，，所以．

令，得．當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：

	↘		↗

故的單調(diào)減區(qū)間為；單調(diào)增區(qū)間為．

（Ⅱ）解：結(jié)論：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn). 理由如下：

由，得方程， 顯然為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解.

所以是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，方程可化簡(jiǎn)為.設(shè)函數(shù)，則，令，得．

當(dāng)變化時(shí)，和的變化情況如下：

	↘		↗

即的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為．所以的最小值.

因?yàn)?， 所以，所以對(duì)于任意，，因此方程無(wú)實(shí)數(shù)解．所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在零點(diǎn).綜上，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn). 考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用；2、函數(shù)的極值和最值；3、函數(shù)的零點(diǎn).