Question

某海域有、兩個(gè)島嶼，島在島正東4海里處。經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn)，某種魚(yú)群洄游的路線是曲線，曾有漁船在距島、島距離和為8海里處發(fā)現(xiàn)過(guò)魚(yú)群。以、所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系。

（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（6分）
（2）某日，研究人員在、兩島同時(shí)用聲納探測(cè)儀發(fā)出不同頻率的探測(cè)信號(hào)（傳播速度相同），、兩島收到魚(yú)群在處反射信號(hào)的時(shí)間比為，問(wèn)你能否確定處的位置（即點(diǎn)的坐標(biāo)）？（8分）

Answer 1

（1） ；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或。

試題分析：（1）由題意知曲線是以、為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓         3分
又，則，故                     5分
所以曲線的方程是                           6分
（2）由于、兩島收到魚(yú)群發(fā)射信號(hào)的時(shí)間比為，
因此設(shè)此時(shí)距、兩島的距離分別比為             7分
即魚(yú)群分別距、兩島的距離為5海里和3海里。       8分
設(shè)，，由 ，    10分
，                                     12分 
                                     13分
點(diǎn)的坐標(biāo)為或                 14分
點(diǎn)評(píng)：中檔題，利用橢圓的定義，明確曲線是橢圓并求得其標(biāo)準(zhǔn)方程為，作為實(shí)際問(wèn)題解決，很好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的妙用。