Question

已知向量

m

=（sinx，-1），

n

=（cosx，

3

2

），f（x）=（

m

+

n

）•

m

．
（1）當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)f（x）的值域：
（2）銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，若f（

B

2

）=

3 2

10

，b=7

2

，a=

4 2

5

c，求邊a，c．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,余弦定理

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運用向量的數(shù)量積的坐標表示和二倍角公式及兩角差的正弦公式，化簡函數(shù)f（x），再由x的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到所求值域；
（2）運用角的變換和兩角和的余弦公式，計算可得cosB，再由余弦定理，結(jié)合條件即可求得c，a的值．

解答： 解：（1）由于

m

+

n

=（sinx+cosx，

1

2

），
則f（x）=（sinx+cosx）sinx-

1

2

=sin²x+sinxcosx-

1

2

=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x=

2

2

（

2

2

sin2x-

2

2

cos2x）=

2

2

sin（2x-

π

4

），
當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]
則當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，函數(shù)f（x）的值域為[-

1

2

，

2

2

]：
（2）由f（

B

2

）=

3 2

10

，得sin（B-

π

4

）=

3

5

，
又B∈（0，

π

2

），即有B-

π

4

∈（-

π

4

，

π

4

），
則cos（B-

π

4

）=

1- 9 25

=

4

5

，
即有cosB=cos[（B-

π

4

）+

π

4

]=cos（B-

π

4

）cos

π

4

-sin（B-

π

4

）sin

π

4

=

4

5

×

2

2

-

3

5

×

2

2

=

2

10

，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得
98=

32

25

c²+c²-2×

4 2

5

c²×

2

10

，
解得c=5

2

，a=

4 2

5

×5

2

=8．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標表示，考查二倍角和兩角和差的正弦、余弦公式的運用，考查余弦定理，運用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及角的變換是解題的關(guān)鍵．