Question

已知數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=log₂

n+1

n+2

（n∈N^*），設數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，則使S_n＜-5成立的正整數(shù)n的最小值為

 

（2）已知命題：“在等差數(shù)列{a_n}中，若4a₂+a₁₀+a_（）=24，則S₁₁為定值”為真命題，由于印刷問題，括號處的數(shù)模糊不清，可推得括號內(nèi)的數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=log₂

n+1

n+2

（n∈N^*），利用對數(shù)的運算法則可得：log2

2

n+2

＜-5，化為

2

n+2

＜2-5，解出即可．
（2）設4a₂+a₁₀+a_m=24，則3a₂+a₂+a₁₀+a_m=24，由于S₁₁=

11(a2+a10)

2

=11a₆為定值，可得a₆為定值，3a₂+a₂+a₁₀+a_m=24化為3a₂+2a₆+a_m=24，即3a₂+a_m=4[a1+(

m+6

4

-1)d]，因此

m+6

4

=6，解出即可．

解答： 解：（1）∵a_n=log₂

n+1

n+2

（n∈N^*），
∴數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n=log2

2

3

+log2

3

4

+…+log2

n+1

n+2

=log2(

2

3

×

3

4

×…×

n+1

n+2

)=log2

2

n+2

．
S_n＜-5即log2

2

n+2

＜-5，
∴

2

n+2

＜2-5，
解得n＞62，
∴使S_n＜-5成立的正整數(shù)n的最小值為63．
（2）設4a₂+a₁₀+a_m=24，則3a₂+a₂+a₁₀+a_m=24，
∵S₁₁=

11(a2+a10)

2

=11a₆為定值，
∴a₆為定值，
∴3a₂+a₂+a₁₀+a_m=24化為3a₂+2a₆+a_m=24，
∴3a₂+a_m=4a₁+（m+3-1）d=4[a1+(

m+6

4

-1)d]，
∴

m+6

4

=6，
解得m=18．
可推得括號內(nèi)的數(shù)為18．
故答案分別為：63；18．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式性質(zhì)、對數(shù)的運算性質(zhì)、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．