Question

已知函數f（x）在R上為奇函數，對任意的x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，總有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0且f（1）=0，則不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0的解集為（　�。�

A．（-1，0）∪（1，+∞）

B．（-∞，-1）∪（0，1）

C．（-∞，-1）∪（1，+∞）

D．（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析：由題意可得，函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，在（-∞，0）上也是增函數，f（1）=0=f（-1）．畫出函數f（x）的單調性示意圖，數形結合可得
不等式的解集．

解答：解：∵函數f（x）在R上為奇函數，
對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，總有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0，
∴函數f（x）在（0，+∞）上是增函數，且在（-∞，0）上也是增函數．
∵f（1）=0，∴f（-1）=0．
故函數f（x）的單調性示意圖如圖所示：
不等式

f(x)-f(-x)

x

＜0，即

2f(x)

x

＜0，即x與f（x）的符號相反．
數形結合可得，不等式的解集為{x|-1＜x＜0，或0＜x＜1}，
故選D．

點評：本題主要考查函數的奇偶性和單調性的應用，體現(xiàn)了數形結合、轉化的數學思想，屬于基礎題．