Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx

x

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)a＞0，求函數(shù)f（x）在[2a，4a]上的最小值；
（3）某同學(xué)發(fā)現(xiàn)：總存在正實數(shù)a、b（a＜b），使a^b=b^a，試問：他的判斷是否正確？若不正確，請說明理由；若正確，請直接寫出a的取值范圍（不需要解答過程）．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域，再利用導(dǎo)數(shù)，可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）根據(jù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)的定義域，分類討論，可求函數(shù)f（x）在[2a，4a]上的最小值；
（3）a的取值范圍是1＜a＜e，利用f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，即可求得．

解答：解：（1）定義域為（0，+∞），f′(x)=

1-lnx

x2

，
令f′(x)=

1-lnx

x2

=0，則x=e，
當(dāng)x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，e）	e	（e，+∞）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	1 e	↘

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，e）；單調(diào)減區(qū)間為（e，+∞）．…（4分）
（2）由（1）知f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，所以，
當(dāng)4a≤e時，即a≤

e

4

時，f（x）在[2a，4a]上單調(diào)遞增，∴f（x）_min=f（2a）；
當(dāng)2a≥e時，f（x）在[2a，4a]上單調(diào)遞減，∴f（x）_min=f（4a）
當(dāng)2a＜e＜4a時，即

e

4

＜a＜

e

2

時，f（x）在[2a，e]上單調(diào)遞增，f（x）在[e，4a]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=min{f（2a），f（4a）}．
下面比較f（2a），f（4a）的大小，…（8分）
∵f(2a)-f(4a)=

lna

4a

，
∴若

e

4

＜a≤1，則f（a）-f（2a）≤0，此時f(x)min=f(2a)=

ln2a

2a

；
若1＜a＜

e

2

，則f（a）-f（2a）＞0，此時f(x)min=f(4a)=

ln4a

4a

；…（10分）
綜上得：
當(dāng)0＜a≤1時，f(x)min=f(2a)=

ln2a

2a

；
當(dāng)a＞1時，f(x)min=f(4a)=

ln4a

4a

，…（12分）
（3）正確，a的取值范圍是1＜a＜e                           …（16分）
理由如下，考慮幾何意義，即斜率，當(dāng)x→+∞時，f（x）→0
又∵f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減
∴f（x）的大致圖象如右圖所示
∴總存在正實數(shù)a，b且1＜a＜e＜b，使得f（a）=f（b），即

lna

a

=

lnb

b

，即a^b=b^a．

點評：本題重點考查導(dǎo)數(shù)的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性．