Question

15．設(shè)f（x）與g（x）是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若函數(shù)y=f′（x）-g（x）（f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)）在[a，b]上有且只有兩個不同的零點，則稱f（x）是g（x）在[a，b]上的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”．若f（x）=$\frac{x^3}{3}-\frac{{3{x^2}}}{2}$+4x是g（x）=2x+m在[0，3]上的“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-\frac{9}{4}，-2}]$
• B． [-1，0]
• C． （-∞，-2]
• D． $（{-\frac{9}{4}，+∞}）$

Answer 1

分析 先對f（x）求導(dǎo)，由題意可得h（x）=f′（x）-g（x）=x²-5x+4-m 在[0，3]上有兩個不同的零點，故有$\left\{\begin{array}{l}{h（0）≥0}\\{h（3）≥0}\\{h（\frac{5}{2}）＜0}\end{array}\right.$，由此求得m的取值范圍．

解答 解：f′（x）=x²-3x+4，
∵f（x）與g（x）在[0，3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，
故函數(shù)y=h（x）=f′（x）-g（x）=x²-5x+4-m在[0，3]上有兩個不同的零點，
故有$\left\{\begin{array}{l}{h（0）≥0}\\{h（3）≥0}\\{h（\frac{5}{2}）＜0}\end{array}\right.$，即  $\left\{\begin{array}{l}{4-m≥0}\\{-2-m≥0}\\{\frac{25}{4}-\frac{25}{2}+4-m＜0}\end{array}\right.$，解得-$\frac{9}{2}$＜m≤-2，
故選：A．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則，函數(shù)零點的判定定理，“關(guān)聯(lián)函數(shù)”的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．