【題目】已知函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).

1)若,求證:對(duì)任意,

2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】1)見(jiàn)解析;(2

【解析】

1)當(dāng)時(shí),,只需證明的最小值大于等于零即可;

2)法一:函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),即上有兩個(gè)不等根,轉(zhuǎn)化為上有兩個(gè)不等根,注意到和函數(shù)互為反函數(shù),將所求問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為和函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)解決即可.法二:有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),分,兩種情況討論,在討論時(shí),注意二次求導(dǎo),結(jié)合極限即可得到答案.

1)當(dāng)時(shí),,,

上單調(diào)遞增,

,

∴當(dāng)時(shí),,上單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞增,

,證畢.

2)法一:函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),

有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),

上有兩個(gè)不等根,

上有兩個(gè)不等根,

即函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).

∵函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù),

∴只需函數(shù)和函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

即方程有兩個(gè)不等正根,

,

∴當(dāng)時(shí),上單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí),,上單調(diào)遞增,

,

又∵時(shí),;時(shí),

法二:函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),即有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn),

當(dāng)時(shí),,由(1,則

上是增函數(shù),無(wú)極值點(diǎn),

當(dāng)時(shí),令,則,因?yàn)?/span>,

,且上是增函數(shù),存在,使得,

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以上單調(diào)遞

減,在上單調(diào)遞增,則,由

,則,令,

上是減函數(shù),所以,

,又時(shí),;時(shí),,故

上有兩個(gè)變號(hào)的零點(diǎn),從而函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),所以.

【點(diǎn)晴】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、證明不等式的問(wèn)題,考查學(xué)生的邏輯推理能力,轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù)

,則的最大值為________

若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某醫(yī)藥公司研發(fā)一種新的保健產(chǎn)品,從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取200盒作為樣本,測(cè)量產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,該指標(biāo)值越高越好.由測(cè)量結(jié)果得到如下頻率分布直方圖:

(Ⅰ)求,并試估計(jì)這200盒產(chǎn)品的該項(xiàng)指標(biāo)的平均值;

(Ⅱ)國(guó)家有關(guān)部門(mén)規(guī)定每盒產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)值不低于150均為合格,且按指標(biāo)值的從低到高依次分為:合格、優(yōu)良、優(yōu)秀三個(gè)等級(jí),其中為優(yōu)良,不高于185為合格,不低于215為優(yōu)秀.用樣本的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的頻率代替產(chǎn)品的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的概率.

①求產(chǎn)品該項(xiàng)指標(biāo)值的優(yōu)秀率;

②現(xiàn)從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3盒,求其中至少有1盒該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值為優(yōu)秀的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為迎接2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì),普及冬奧知識(shí),某校開(kāi)展了冰雪答題王冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生,將他們的比賽成績(jī)(滿分為100分)分為6組:,得到如圖所示的頻率分布直方圖.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)記表示事件從參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生,該學(xué)生的比賽成績(jī)不低于80,估計(jì)的概率;

(Ⅲ)在抽取的100名學(xué)生中,規(guī)定:比賽成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀,比賽成績(jī)低于80分為非優(yōu)秀.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為比賽成績(jī)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)?

參考公式及數(shù)據(jù):

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】中國(guó)改革開(kāi)放以來(lái)經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅猛,某一線城市的城鎮(zhèn)居民20122018年人均可支配月收入散點(diǎn)圖如下(年份均用末位數(shù)字減1表示).

1)由散點(diǎn)圖可知,人均可支配月收入y(萬(wàn)元)與年份x之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,試求y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.001),依此相關(guān)關(guān)系預(yù)測(cè)2019年該城市人均可支配月收入;

2)在20142018年的五個(gè)年份中隨機(jī)抽取兩個(gè)數(shù)據(jù)作樣本分析,求所取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中,人均可支配月收入恰好有一個(gè)超過(guò)1萬(wàn)元的概率.

注:,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在用1,2,…,8這八個(gè)數(shù)碼所組成的 全部無(wú)重復(fù)數(shù)字的八位數(shù)中,能被11整除的有______個(gè).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2020年新年伊始,新型冠狀病毒來(lái)勢(shì)洶洶,疫情使得各地學(xué)生在寒假結(jié)束之后無(wú)法返校,教育部就此提出了線上教學(xué)和遠(yuǎn)程教學(xué),停課不停學(xué)的要求也得到了家長(zhǎng)們的贊同.各地學(xué)校開(kāi)展各式各樣的線上教學(xué),某地學(xué)校為了加強(qiáng)學(xué)生愛(ài)國(guó)教育,擬開(kāi)設(shè)國(guó)學(xué)課,為了了解學(xué)生喜歡國(guó)學(xué)是否與性別有關(guān),該學(xué)校對(duì)100名學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:

喜歡國(guó)學(xué)

不喜歡國(guó)學(xué)

合計(jì)

男生

20

50

女生

10

合計(jì)

100

1)請(qǐng)將上述列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜歡國(guó)學(xué)與性別有關(guān)系?

2)針對(duì)問(wèn)卷調(diào)查的100名學(xué)生,學(xué)校決定從喜歡國(guó)學(xué)的人中按分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人成立國(guó)學(xué)宣傳組,并在這6人中任選2人作為宣傳組的組長(zhǎng),設(shè)這兩人中女生人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù):

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

,

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】下面使用類比推理,得到的結(jié)論正確的是( )

A. 直線,若,則.類比推出:向量,,,若,,則.

B. 三角形的面積為,其中,,為三角形的邊長(zhǎng),為三角形內(nèi)切圓的半徑,類比推出,可得出四面體的體積為,(,,,分別為四面體的四個(gè)面的面積,為四面體內(nèi)切球的半徑)

C. 同一平面內(nèi),直線,若,則.類比推出:空間中,直線,若,則.

D. 實(shí)數(shù),若方程有實(shí)數(shù)根,則.類比推出:復(fù)數(shù),若方程有實(shí)數(shù)根,則.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】把正整數(shù)按一定規(guī)律排成了如圖所示的三角形數(shù)表

設(shè)是位于這個(gè)三角形數(shù)表中從上到下數(shù)第行、從左到右數(shù)第個(gè)數(shù),如,若,則____

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