Question

已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x定義域?yàn)閇-2，t]（t＞-2．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)；
（2）求證：f（t）＞f（-2）；
（3）當(dāng)1＜t＜4時(shí)，求滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2的x₀的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)區(qū)間的關(guān)系求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而確定出t的取值范圍；
（2）運(yùn)用函數(shù)的極小值進(jìn)行證明；
（3）首先對(duì)關(guān)系式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行判定．

解答：（1）解：因?yàn)閒′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x=x（x-1）•e^x，
由f′（x）＞0，得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，
欲使f（x）在[-2，t]上為單調(diào)函數(shù)，則-2＜t≤0．
所以t的取值范圍為（-2，0]．
（2）證明：因?yàn)閒（x）在（-∞，0），（1，+∞）上遞增，在（0，1）上遞減，
所以f（x）在x=1處取得極小值e，
又f（-2）=

13

e2

＜e，
所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值為f（-2），
從而當(dāng)t＞-2時(shí)，f（-2）＜f（t）；
（3）因?yàn)?span id="e48xqrn" class="MathJye">

f′(x0)

ex0

=x02-x₀，所以足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2即為x02-x₀=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²，從而問題轉(zhuǎn)化為求方程g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²=0在[-2，t]上的解的個(gè)數(shù)，
因?yàn)間（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

(t+2)(t-4)，g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

（t+2）（t-1），
所以當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=-

2

3

（t-1）²＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有兩解．
即，滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2的x₀的個(gè)數(shù)為2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值及函數(shù)零點(diǎn)問題，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化