Question

19．已知在平面直角坐標系xoy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為$F（-\sqrt{3}，0）$，右頂點為D（2，0），P，Q分別是橢圓的左頂點和下頂點，過原點的直線交橢圓于A，B，且A點在第一象限，自A點作x軸的垂線，交x軸于C點，連BC．
（1）求該橢圓的標準方程；
（2）若AB平分線段PQ，求直線AB的斜率k_AB；并在此情況下，求A到直線BC的距離．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的半長軸a=2，半焦距$c=\sqrt{3}$，則半短軸b=1，然后求解橢圓的標準方程．
（2）求出AB的斜率k_AB，得到直線AB的方程與橢圓方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$聯(lián)立，求出直線BC的方程，利用點A到直線BC的距離公式求解即可．

解答 解：（1）由已知得橢圓的半長軸a=2，半焦距$c=\sqrt{3}$，則半短軸b=1
又橢圓的焦點在x軸上，∴橢圓的標準方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$…（4分）
（2）由（1）知，P（-2，0），Q（0，-1），則PQ的中點坐標為$（-1，-\frac{1}{2}）$，
若AB平分線段PQ，則AB過PQ的中點，又AB過原點，
所以AB的斜率k_AB=$\frac{{-\frac{1}{2}-0}}{-1-0}=\frac{1}{2}$．…（7分）
此時直線AB的方程為$y=\frac{1}{2}x$，與橢圓方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$聯(lián)立，解得$x=±\sqrt{2}$．
這樣$A（\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}），B（-\sqrt{2}，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}），C（\sqrt{2}，0）$，所以直線BC的方程為$x-4y-\sqrt{2}=0$
故點A到直線BC的距離為$d=\frac{{|{\sqrt{2}-4×\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\sqrt{2}}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-4）}^2}}}}=\frac{{2\sqrt{34}}}{17}$…（13分）

點評 本題考查橢圓的方程的求法，直線與橢圓的位置關系的應用，考查計算能力．