Question

1．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+1是偶函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）當(dāng)x∈（-∞，0]時判斷并證明f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的定義，f（-x）=f（x），得出a=0；
（2）a=0時求出f（x）的解析式，利用單調(diào)性定義證明x∈（-∞，0]時，f（x）是減函數(shù)即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x²+ax+1是偶函數(shù)，
∴對任意x∈R，都有f（-x）=f（x），
即（-x）²+a（-x）+1=x²+ax+1，
∴a=0；
（2）a=0時，f（x）=x²+1，
當(dāng)x∈（-∞，0]時，f（x）是單調(diào)減函數(shù)；
證明如下：任取x₁、x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（${{x}_{1}}^{2}$+1）-（${{x}_{2}}^{2}$+1）=${{x}_{1}}^{2}$-${{x}_{2}}^{2}$=（x₁-x₂）（x₁+x₂），
∵x₁＜x₂≤0，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）是（-∞，0]上的單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判斷與證明問題，是基礎(chǔ)題目．