Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=a（a＞2），對(duì)一切n∈N^*，a_n＞0，．
（1）求證：a_n＞2；
（2）求證：a_n+1＜a_n．

Answer 1

證明：（1）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明，
①當(dāng)n=1，a₁=a＞2，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)結(jié)論成立，即a_k＞2，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，a _k+1-2=-2==＞0，即a_k+1＞2，
由①②可知，n∈N^*時(shí)都有a_n＞2．
（2）當(dāng)a_n＞2時(shí)，==＜=1，所以a_n+1＜a_n．
分析：（1）利用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)n=1時(shí)結(jié)論成立，第二步假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立，證明n=k+1時(shí)不等式也成立即可；
（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，可利用作商比較法證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．