Question

【題目】已知．

（1）當(dāng)為常數(shù)，且在區(qū)間變化時(shí)，求的最小值；

（2）證明：對任意的，總存在，使得 ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析。

【解析】試題分析：（1）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則其最小值為，即；（2）令，，由于，所以，于是得到函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，分情況討論，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞減，經(jīng)驗(yàn)證，存在，使得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以時(shí)，函數(shù)取最小值，經(jīng)驗(yàn)證，存在，使得.

試題解析：（1）當(dāng)為常數(shù)時(shí)，

，，

，當(dāng)，，在上遞增，其最小值．

（2）令，，

由，當(dāng)在區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，與變化情況如下表：

		0
	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

①當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

，，

所以對任意，在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn)，即存在，使得；

②當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，

所以時(shí)，函數(shù)取最小值，

又，

若，則，，

所以在內(nèi)存在零點(diǎn)；

若，則，，

所以在內(nèi)存在零點(diǎn)，

所以，對任意，在區(qū)間內(nèi)均存在零點(diǎn)，即存在，使得．

結(jié)合①②，對任意的，總存在，使得．