Question

已知拋物線C：y²=x，過定點A（x，0），作直線l交拋物線于P，Q（點P在第一象限）．
（Ⅰ）當點A是拋物線C的焦點，且弦長|PQ|=2時，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)點Q關(guān)于x軸的對稱點為M，直線PM交x軸于點B，且BP⊥BQ．求證：點B的坐標是（-x，0）并求點B到直線l的距離d的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出拋物線的焦點坐標，然后假設(shè)直線l的方程為：，將P，Q的坐標設(shè)出，聯(lián)立直線和拋物線方程消去x得到兩根之和，然后根據(jù)|PQ|的長度得到n的值．
（2）先設(shè)l：x=my+x（m≠0），再根據(jù)對稱性得到點M的坐標，聯(lián)立l與拋物線的方程消去x得到兩根之和、兩根之積，表示出和根據(jù)∥，得到關(guān)系式x₂y₁-y₁x_B=-x₁y₂+x_By₂．再代入兩根之和、兩根之積可證明點B的坐標是（-x，0）．先確定△BMQ為等腰直角三角形，得到k_PB=1，再表示出點B到直線l的距離d即可求范圍．
解答：解：（Ⅰ）由拋物線C：y²=x得拋物線的焦點坐標為，
設(shè)直線l的方程為：，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由得．
所以△=n²+1＞0，y₁+y₂=n．因為，
所以．
所以n²=1．即n=±1．
所以直線l的方程為：或．
（Ⅱ）設(shè)l：x=my+x（m≠0），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則M（x₂，-y₂）．
由得y²-my-x=0．
因為，所以△=m²+4x＞0，y₁+y₂=m，y₁y₂=-x．
（ⅰ）設(shè)B（x_B，0），則．
由題意知：∥，∴x₂y₁-y₁x_B=-x₁y₂+x_By₂．
即（y₁+y₂）x_B=x₁y₂+x₂y₁=y₁²y₂+y₂²y₁=（y₁+y₂）y₁y₂．
顯然y₁+y₂=m≠0，∴x_B=y₁y₂=-x．∴B（-x，0）．
（ⅱ）由題意知：△BMQ為等腰直角三角形，∴k_PB=1，
即，即．∴y₁-y₂=1．
∴（y₁+y₂）²-4y₁y₂=1．∴m²+4x=1．∴m²=1-4x＞0．
∴．∵，∴．
∴．
即d的取值范圍是．
點評：本題主要考查拋物線和直線的綜合題．圓錐曲線和直線的綜合題是高考的熱點問題，每年必考，要給予重視．