Question

已知函數(shù)f（x）=[3ln（x+2）﹣ln（x﹣2）]
（I） 求x為何值時，f（x）在[3，7]上取得最大值；
（Ⅱ）設(shè)F（x）=aln（x﹣1）﹣f（x），若F（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=[﹣]=
∴當(dāng)2＜x＜4時，f′（x）＜0，當(dāng)x＞4時，f′（x）＞0
∴f（x）在（2，4）上是減函數(shù)，在（4，+∞）上是增函數(shù)
∴f（x）在[3，7]上的最大值應(yīng)在端點處取得
f（3）﹣f（7）=[3ln5﹣ln1]﹣[ln625﹣ln729]＜0，
∴f（3）＜f（7）即當(dāng)x=7時，f（x）取得在[3，7]上的最大值
（Ⅱ）∵F（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，
∴F（x）≥0恒成立
又F′（x）==
顯然在f（x）的定義域（2，+∞）上，（x﹣1）（x2﹣4）＞0恒成立．
∴（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
下面分情況討論（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）＞0在（2，+∞）上恒成立時，a的解的情況．
當(dāng)a﹣1＜0時，顯然不可能有（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
當(dāng)a﹣1=0時（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）=5x﹣8＞0在（2，+∞）上恒成立．
當(dāng)a﹣1＞0時，又有兩種情況：
①5²+16（a﹣1）（a+1）≤0；
②且（a﹣1）﹣2²+5×2﹣4（a+1）≥0
由①得16a²+9≤0，無解；
由②得a≥﹣，a﹣1＞0，∴a＞1
綜上所述各種情況，
當(dāng)a≥1時（a﹣1）x²+5x﹣4（a+1）≥0在（2，+∞）上恒成立．
∴所求的a的取值范圍為[1，+∞）．